Questions based on dynamic programming

Q.1 The owner of a chain of four grocery stores has purchased six crates of fresh strawberries.The estimated probability distribution of potential sales of the strawberries before spoilage differ among the four stores.The following table gives the estimated total expected profit at each store, when it is allocated various numbers of crates:

                                                                    Store

                                                                 1          2          3            4

                                              ______________________________________

                                      0                         0          0          0            0

                                      1                         4          2          6            2

Number

                                      2                         6          4          8            3

of

                                      3                         7          6          8            4

boxes

                                      4                         7          8          8            4

                                      5                         7          9          8            4

                                      6                         7         10         8            4

     For administrative reasons,the owner does not wish to split crates between stores.However, he is willing to distribute zero crates to any of his stores.

Find the allocation of six crates to four stores so as to maximize the expected profit.

Q.2 A company has decided to introduce a product in three phases. Phase 1 will feature making a special offer at a greatly reduced rate to attract the first-time buyers. Phase 2 will involve intensive advertising to persuade the buyers to continue purchasing at a regular price. Phase 3 will involve a follow up advertising and promotional campaign.

A total of Rs. 5 million has been budgeted for this marketing campaign. If m is the market share captured in phase 1, fraction f₂   of m is retained in phase 2, and fraction  f3  of market share in phase 2 is retained in phase 3. The expected values of m, f₂  and  f₃  at different levels of money expended are given below. How should the money be allocated to the three phases to maximize the final share?

                Money spent                                   m per cent                Effect on market share

             (millions of Rs.)                                                                     f₂                      f₃                        

  _{__________________________________________________________________________________}

                              _{0                                                                        0                                   0.30                            0.50}

                              _{1                                                                       10                                  0.50                            0.70}

                              _{2                                                                       15                                  0.70                            0.85}

                              _{3                                                                       22                                  0.80                            0.90}

                              _{4                                                                       27                                  0.85                            0.93}

                              _{5                                                                       30                                  0.90                            0.95}

 Q.3 A vessel is to be loaded with stocks of 3 items.Each unit of item i has a weight w_i and value r_i.  The maximum cargo weight the vessel can take is 5 and the details of the three items are as follows :

                                     i                                          w_i                                      r_i

                                                     _{1                                                       1                                                      30}

                                                     _{2                                                       3                                                      80}

                                                     _{3                                                       2                                                       65}

Develop the recursive equation for the above case and find the most valuable cargo load without exceeding the maximum cargo weight by using dynamic programming.